A lot - A lot of - Lots of

Em termos de significado, ambos referem-se à mesma coisa. 
Querem dizer "muito", "bastante" no sentido de "uma grande quantidade".  
Gente, como costumamos dizer: "um monte".
São de uso coloquial, ou seja, "informal". 
No uso "formal", chamado também de acadêmico, se usa "a great deal of". Até ''much'' e ''many''que quer dizer a mesma coisa. 
Não tem nenhuma regra sobre o uso. Tanto "a lot" e "lots of" são usados ​​com substantivos contáveis ​​ e incontáveis.
Mas muitos entendem "lots of"' como um grau maior, ou seja em maior quantidade. 
(Porém é o mais informal.)

Aí, como sempre digo nas minhas aulas, tradução é "equivalência". Para que você aprenda a falar Inglês, sabendo o que quer falar, sem medo, você tem que "entender" a ''equivalência" entre as frases. Tipo, "isso" que está escrito, no meu idioma eu falo "assim"...
Porque nós não falamos: "tem uma grande quantidade, ou ''lotes'' de livros em sua mochila. Nós falaríamos, tem "muitos" sim, mas em situações de grande quantidade, nós geralmente falamos 
"tem um monte"... então, é essa ideia que tem que vir na sua mente. Por isso fiz questão de traduzir algumas frases, usando exatamente as palavras que usamos.

Gosto de colocar primeiro as frases em Português, para que já se saiba o que vai ser lido em Inglês.
(Clique nas palavras "Contáveis" e "Incontáveis", para ir para a página onde são explicados.)

Contáveis:
 
Tem muitos livros na sua mochila.= There are a lot of books in your bag.
Tem bastante livros na sua mochila.= There are lots of books in you bag.
(ou seja, tem "um monte" de livros na sua mochila.) 
"Um monte" de livros foram deixados em cima da mesa.= A lot of books were left on the table.
"Monte" de livros foram deixados em cima da mesa. = Lots of books were left on the table.
Talvez ele tenha "um monte" de namoradas.= Maybe he has lots of girlfriends. 

Incontáveis: 

Tem muito leite deixado em seu copo. =  There is a lot of milk left in your glass.
Tem bastante leite deixado em seu copo.= There is lots of milk left in your glass.


Perceba então, que "a lot of" e "lots of", usamos nos referindo à  alguma coisa que está em grande quantidade. 

 "A lot", sem "of", significa "muito", usamos quando nos referimos, a "grau".
Funciona como "advérbio", mostrando dimensão àquilo a que estamos nos referindo 
  
Muitos cursos ensinam, que "a lot" sem o "of", são em finais de frases. Também! Mas não é regra, 
e vou mostrar frases com o uso em meios de frases também, quando vem antes de comparativo adjetivo ou advérbio. Mas pode vir antes de verbo também.

Eu falo muito. = I talk a lot.
Embora tenha chovido bastante, nós curtimos nossas férias. = Although it rained a lot, we enjoyed our holiday.
Eu posso correr muito mais rápido do que você. = I can run a lot faster than you.
Eu tenho muito trabalho a fazer. = I've got a lot work to do. 

Também pode ser usado em frase negativa, mas é mais usado "much". 
Ex.:
Eu não tenho um monte de dinheiro como você pensa.= I don't have a lot of money as you think.

Eu não tenho muito dinheiro,mas eu tenho um monte de amigos.= I haven't got much money, but I've got a lot of friends. 
 
Outras frases com:  "a lot of" ,"lots of" e "a lot".

 A lot: 

 Eu costumava muito jogar tênis. = I used to play tennis a lot. 
(ou: Eu costumava jogar tênis "pra caramba". rsrs)
Ele trapaceia bastante. = He cheats a lot.
Ela dorme muito. =She sleeps a lot.
Eu tenho muito a aprender. = I've got a lot to learn.
Há muito a se ver em Nova Iorque. = There's a lot to see in New York.
Nós estamos pagando muito pelos seus(dela) serviços. = We're paying her a lot for her services.
Ela é muito mais feliz agora do que ela era. = She's a lot happier now than she was.


A lot of :

Ela pode beber muita água, mas ela não pode beber muito café.
=She can drink a lot of water, but she can't drink much coffee.

 Todas as manhãs, ela compra um monte de jornais, mas ela não compra muitas revistas.
= Every morning she buys a lot of newspapers, but she doesn't buy many magazines. 
  
Ela não come muita carne, mas come bastante legumes.
= She doesn't eat much meat, but she eats a lot of vegetables. 

Ela tem um monte de vestidos, mas ela não tem muitas saias.
 = She has got a lot of dresses, but she hasn't got many skirts.

Ela não compra muito perfume, mas ela compra um monte de roupas.
= She doesn't buy much perfume, but she buys  a lot of clothes.

Ele faz (comete)um monte de erros na pronúncia.
 = He makes a lot of mistakes in pronunciation.

Eu tenho um monte de livros em Inglês. =I have got a lot of English books. 
Eu desejava ter muito dinheiro.= I wish I had a lot of money.
Havia um monte de pessoas em pé na fila. = There were a lot of people standing in line. 
(Tinha um monte de gente em pé na fila.)

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